Taylor 級數
Taylor series。Taylor 展開 (Taylor expansion)
$ aの周りの Taylor 級數展開$ f(z)=\sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(z-a)^nが收束しかつ等號が成り立つ場合を言ふ 剩餘項
實函數$ R_n(z)=\frac{f^{(n)}(c)}{n!}(z-a)^n=\frac 1{(n-1)!}\int_a^x(x-t)^{n-1}f^{(n)}(t){\rm d}t
複素函數$ R_n(z)=\frac{(z-a)^n}{2\pi i}\int_C\frac{f(w)}{(w-a)^n(w-z)}{\rm d}w
多項式近似
Maclaurin 級數 (Maclaurin series。Maclaurin 展開 (Maclaurin expansion)) 0 の周りの Taylor 級數$ f(z)=\sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(0)}{n!}z^n 「よろしい。そんなら、マクローリンの級數を第 n 項で切ったときの誤差範圍は何かいってみろ。できたら放免してやる。できなければ銃殺だぞ!」
實函數$ R_n(z)=\frac 1{(n-1)!}\int_0^x(x-t)^{n-1}f^{(n)}(0){\rm d}t
複素函數$ R_n(z)=\frac{z^n}{2\pi i}\int_C\frac{f(w)}{w^n(w-z)}{\rm d}w
$ cの周りの Laurent 級數$ f(z)=\sum_{n=-\infty}^\infty a_n(z-c)^n,$ a_n:=\frac 1{2\pi i}\int_\gamma\frac{f(z)}{(z-c)^{n+1}}{\rm d}z 直交多項式 (orthogonal polynomial)
Legendre 多項式$ P_n(x)
正規直交基底$ \sqrt{\frac{2n+1}2}\frac 1{2^n n!}\frac{d^n}{dx^n}(x^2-1)^n=\sqrt{\frac{2n+1}2}P_n(x)
$ P_n(x)=\frac 1{2^n n!}\frac{d^n}{dx^n}(x^2-1)^n
微分方程式$ \frac d{dx}((1-x^2)y')+\lambda(\lambda+1)y=0の解
Bonnet の漸化式
$ P_0(x)=1
$ P_1(x)=x
$ (n+1)P_{n+1}(x)=(2n+1)xP_n(x)-nP_{n-1}(x)
指数関数的に減衰する多項式の和で展開。制御理論などで「システムの応答（ラプラス空間の関数）」を直交基底で近似する際に使われることがあり、操作的にはフーリエ級数に類比されるアプローチ
Askey scheme
$ f({\bf x})=\sum_{\alpha\in\N_0^d}\frac{({\bf x}-{\bf a})}{\alpha!}(\partial^\alpha f)({\bf a}).
$ f(x^\mu)=\sum_{n=0}^\infty\frac{((x^\mu-a^\mu)\partial_\mu)^n}{n!}f(a^\mu).
正則函數 (regular analytic function。整型函數 (holomorphic function)) 點$ aを含む開圓板內の全ての點で微分可能な複素函數は、點$ aに於いて正則函數である Cauchy-Riemann の方程式
$ f(z)を$ f(\frak{Re}z,\frak{Im}z)=\frak{Re}f+\frak{Im}fと見做し、$ x+yi:=z,$ u(x,y)+iv(x,y):=f(x,y)と置く。
Cauchy-Riemann の方程式$ \begin{cases}\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y} \\ \frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}\end{cases}が點$ aの周りで成り立つ事と、點$ aの周りで微分可能である ($ \lim_{z\to a}\frac{f(z)-f(a)}{z-a}が$ z\to aのどのやうな經路でも一通りに收束する) 事は同値
複素平面の全域で正則な函數
點$ aを含む開圓板內の全ての點で冪級數$ \sum_{n=0}^\infty c_n(z-a)^nが對象となる函數に收束する複素函數は、點$ aに於いて解析函數である 有理型函數 (meromorphic function) 多項式の有理式として書ける函數