Taylor 級數
Taylor series。Taylor 展開 (Taylor expansion)
$ aの周りの Taylor 級數展開$ f(z)=\sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(z-a)^nが收束しかつ等號が成り立つ場合を言ふ 剩餘項
實函數$ R_n(z)=\frac{f^{(n)}(c)}{n!}(z-a)^n=\frac 1{(n-1)!}\int_a^x(x-t)^{n-1}f^{(n)}(t)dt
複素函數$ R_n(z)=(z-a)^n\left(\frac 1{2\pi i}\int_C\frac{f(w)}{(w-a)^n(w-z)}dw\right)
Maclaurin 級數 (Maclaurin series。Maclaurin 展開 (Maclaurin expansion)) 0 の周りの Taylor 級數$ f(z)=\sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(0)}{n!}z^n 「よろしい。そんなら、マクローリンの級數を第 n 項で切ったときの誤差範圍は何かいってみろ。できたら放免してやる。できなければ銃殺だぞ!」
$ cの周りの Laurent 級數$ f(z)=\sum_{n=-\infty}^\infty a_n(z-c)^n,$ a_n:=\frac 1{2\pi i}\int_\gamma\frac{f(z)}{(z-c)^{n+1}}dz 直交多項式 (orthogonal polynomial)
Legendre 多項式
正規直交基底$ \sqrt{\frac{2n+1}2}\frac 1{2^n n!}\frac{d^n}{dx^n}(x^2-1)^n=\sqrt{\frac{2n+1}2}P_n(x)
$ P_n(x)=\frac 1{2^n n!}\frac{d^n}{dx^n}(x^2-1)^n
微分方程式$ \frac d{dx}((1-x^2)y')+\lambda(\lambda+1)y=0の解
Bonnet の漸化式
$ P_0(x)=1
$ P_1(x)=x
$ (n+1)P_{n+1}(x)=(2n+1)xP_n(x)-nP_{n-1}(x)
Askey scheme
$ f({\bf x})=\sum_{\alpha\in\N_0^d}\frac{({\bf x}-{\bf a})}{\alpha!}(\partial^\alpha f)({\bf a}).
$ f(x^\mu)=\sum_{n=0}^\infty\frac{((x^\mu-a^\mu)\partial_\mu)^n}{n!}f(a^\mu).
Cauchy-Riemann の方程式